人才培养

二、泛函分析教学大纲

发布时间:2023-10-17浏览次数:11


betway官方app 研究生课程教学大纲

课程名称

泛函分析

英文名称

A Course in Functional Analysis

课程编号

09_010001

学分

4

学时

72

课程类别

公共学位课 □公共选修课学科基础课 □专业主干课 □专业选修课

适用专业

数学、统计学

适用类别

博士硕士 □专业学位

开课学院

数学与信息科学学院

开课学期

每学年下半学期

主讲教师

王伟 高福根 等

职 称

副教授

联系方式

0373-3326148

辅讲教师

左红亮 杨长森 李海英等

职 称

教授

副教授等

联系方式

0373-3326148

考核方式

笔试 □课程论文 □实验设计 口试其他:学术小报告

课程简介

泛函分析是数学专业重要的专业基础课之一,是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论和量子物理等研究中发展起来的数学分支学科,它综合函数论、几何和代数的观点和方法研究解决数学中提出的重要问题。该课程是数学专业研究生课程中的核心课程,为学生进一步学习代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下坚实基础。

教学目的

泛函分析是从事现代数学研究与实际应用必备的基础课,它是空间的拓扑结构与代数结构的有机结合,通过这门课的教学,使研究生能够掌握赋范线性空间,有界线性算子,Hilbert空间和Banach空间的基本概念和理论等基础知识,更重要的是掌握它的抽象思维和逻辑推理方法,提高研究生对数学分析、拓扑学和代数学等知识的综合运用能力,为进一步学习其它方向课奠定必备的基础。


教学内容、学时分配和教学要求

第一章 线性赋范空间(16学时)

§13学时)线性空间与度量空间

§25学时)经典的赋范空间

§32学时)完备性与Baire纲定理

§44学时)紧性与有限维空间

§52学时)积空间与商空间

本章要点:强调与数学分析和线性代数之间的联系与区别;强调几何直观;不动点定理。

第二章 线性算子与线性泛函(18学时)

§11学时)线性算子的概念

§22学时)Riesz定理及其应用

§35学时)开映象定理与闭图像定理

§45学时)Hahn-Banach定理

§55学时)凸集的隔离性定理

本章要点:Hahn-Banach保范延拓定理、一致有界原理、逆算子定理、开映射定理、闭图象定理。

第三章共轭空间与共轭算子(15学时)

§14学时)共轭空间及其表现

§22学时)W-收敛与W*-收敛

§34学时)共轭算子

§45学时)自反空间与一致凸空间

本章要点:共轭算子、自反空间与一致凸空间的相关性质。

第四章 紧算子与Fredholm算子(9学时)

§12学时)紧算子的定义和基本性质

§22学时)Riesz-Fredholm理论

§32学时)Hilbert-Schmidt定理

§41学时)对椭圆型方程的应用

§52学时)Fredholm算子

本章要点:Riesz-Fredholm理论;通过Fredholm方程经典处理与本章中处理方法的比较,体现泛函分析的广泛应用。

第五章Hilbert空间几何学(6学时)

§12学时)正交集与正交基

§22学时)正交投影

§32学时)共轭算子与一.五线性泛函

本章要点:正交投影及里斯表示定理。

第六章 有界线性算子谱理论(8学时)

§12学时)逆算子与谱

§22学时)紧算子的谱理论

§32学时)自共轭算子的谱理论

§42学时)谱系与谱分解

本章要点:紧算子和自共轭算子的谱分解。

预修课程或预备知识

学习本课程需具备较扎实的数学分析和线性代数基础,并对实变函数和拓扑学有初步的了解。

教材

张恭庆,林源渠著, 《泛函分析讲义》,北京大学出版社,1987.

主要参考文献(书籍、期刊和网站)

1.夏道行,吴卓人,严绍宗,舒五昌 编著,《实变函数论与泛函分析》下册,高等教育出版社,2010.

2.刘培德 编著,《泛函分析基础》,武汉大学出版社,2002.

3.江泽坚,孙善利 编著,《泛函分析》,高等教育出版社,2004.

4.王声望,郑维行 编著, 《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社,2004.

5J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990.

6W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York,1973.



任课老师签名: 学院主管领导签名:

(学院公章)


年 月 日 年 月 日


说明:“教学目的”为本课程的教学目标;“教学内容、学时分配和教学要求”为教学大纲的核心部分,包含详细的课程内容、讲授或学生学习某些内容在教学设计、教学方法、学生知识储备等方面的要求,以及每部分内容的学时分配或每个阶段讲授哪些内容的具体安排。



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