《高等数学(Ⅲ)》课程教学大纲

总学时数： 108 学分： 3+3 适用专业：经济管理、人文社科

一、课程教学目标

本课程的教学目标是：注意与高中知识的衔接性及各专业知识的需要性，以掌握概念，强化应用为重点，以应用为主要目的，贯彻拓宽基础、强化能力、立足应用的原则，保证各专业技术知识的顺利学习，并为以后的进一步学习和深造打下坚实的基础。教学内容由浅入深、由易到难，循序渐进，兼顾数学本身的系统性，贯彻理论联系实际的原则，强调应用性和实用性。

二、课程的性质、目的和任务

《高等数学（三）》是高等学校经济管理、人文社科类专业的一门重要主干基础课程。数学是培养和造就各类高层次专门人才的共同基础。对非数学专业的学生，大学数学基础课程的作用至少有三方面：它是学生掌握数学工具的主要课程；它是学生培养理性思维的主要载体；它是学生接受美感熏陶的一种途径。高等数学教育的目的与任务是使学生从理论、方法、能力三方面得到基本训练，从而为以后扩大、深化数学知识及学习后继课程奠定基础，也为学生以后从事专业技术工作奠定数学基础。通过本课程的教学使学生系统地获得微积分、级数、常微分方程和高等数学在经济学中的应用等基础理论，围绕上述理论培养学生的基本运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，即提高学生的数学素质。通过本课程的系统教学，特别是讲授如何提出新问题、思考分析问题，逐渐培养学生创新思维能力；通过揭示数学中的美，结合教学内容，适当讲解科学家的献身科学的故事，加强素质教育。

三、课程教学的基本要求

１、 正确理解下列基本概念及它们之间的联系：

函数及其极限，无穷小，函数的连续性，导数，微分，不定积分，定积分，广义积分，偏导数，全微分，重积分，级数及收敛性，微分 ( 差分 ) 方程及微分 ( 差分 ) 方程的解等。

２、 正确理解下列性质、定理、公式的意义，并会应用：

闭区间上连续函数的性质，微分中值定理，微积分学基本定理， Taylor 公式，函数的 Taylor 展开式等。

３、 牢固掌握下列公式：

基本初等函数的求导公式，基本积分公式。

４、 熟练运用下列法则及方法：

求极限的主要方法，函数和、积、商的求导法则，复合函数求导法则，换元积分法，分部积分法，二重积分计算方法，无穷级数的审敛法，微分方程的一些基本解法。

５、 会用微积分和常微分方程的方法解决一些几何问题。

四、课程教学内容

第一章 函数

[ 内容提要 ]

§ 1.1 预备知识

实数及其几何表示；实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式；区间与邻域的概念。

§ 1.2 函数概念

常量与变量；函数的定义与表示法，函数定义域的求法。

§ 1.3 函数的几何特性

单调性，有界性，奇偶性，周期性。

§ 1.4 反函数

反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值。

§ 1.5 复合函数的定义

§ 1.6 初等函数

基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形。初等函数的定义。

§ 1.7 分段函数

分段函数的概念及其图形特征。

§ 1.8 建立函数关系的例子

经济变量间的数量关系—经济函数。

总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。

[ 要求与说明 ]

1. 理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。

2. 理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。

3. 了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。

4. 了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。

5. 理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。

6. 理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。

7. 理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。

8. 会建简单应用问题的函数关系。

9. 本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。

第二章 极限与连续

[ 内容提要 ]

§ 2.1 数列的极限

数列的概念，数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。

§ 2.2 函数的极限

x → x0 时，函数 f(x) 的极限； x →∞时，函数 f(x) 的极限；函数极限的几何解释；单边极限（左、右极限， x → + ∞或 x → - ∞时，函数 f(x) 的极限）。

§ 2.3 无穷小量与无穷大量

无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。

§ 2.4 极限的四则运算

§ 2.5 极限的基本性质：唯一性、有界性、保号性、极限不等式等。

§ 2.6 极限的存在性定理：夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。

§ 2.7 两个重要的极限

§ 2.8 函数的连续性

函数的改变量。函数的连续性，左连续与右连续；函数连续与极限的关系。

函数的间断点及其分类。

连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。

§ 2.9 闭区间上连续函数的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理。

[ 要求与说明 ]

1. 了解数列与函数极限的概念。

关于数列与函数极限的分析定义不作要求。

2. 了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量无穷大量的关系。

3. 知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。

单调有界数列的极限存在性定理不证明。

4. 熟练掌握两个重要的极限。

两个重要极限的证明不作要求。

5. 了解函数连续性的概念，函数间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。

6. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。

7. 了解闭区间上连续函数的基本定理。

基本定理不证明，只作几何说明。

8. 掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要的极限以及函数的连续性等求极限的值。

第三章 导数与微分

[ 内容提要 ]

§ 3.1 导数概念

变速直线运动的速度，平面曲线的切线斜率。

导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。

§ 3.2 基本初等函数的导数公式

§ 3.3 导数的四则运算

§ 3.4 反函数与复合函数的导数，隐函数的导数；对数求导法

§ 3.5 高阶导数的概念与求法

§ 3.6 微分

微分的定义与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不变性。

§ 3.7 导数与微分的简单应用

边际与弹性概念。

※近似计算与误差估计。

[ 要求与说明 ]

1. 了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系。

2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3. 熟练掌握导数的四则运算公式。

4. 掌握反函数的导数公式（反函数求导公式的证明不作要求）。

5. 熟练掌握复合函数的链式求导公式（证明不作要求）。

6. 掌握对数求导法与隐函数求导法。

7. 了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的 n 阶导数的方法。

8. 了解微分的概念；掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性；熟练掌握求可微函数微分的方法。

9. 知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用题。

第四章 中值定理与导数的应用

[ 内容提要 ]

§ 4.1 中值定理

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。

§ 4.2 罗必塔法则与各种未定式的定值方法

§ 4.3 函数单调性的判别法

§ 4.4 函数的极值与最值

函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件。

函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。

§ 4.5 曲线的凹凸性、拐点与渐近线

曲线凹凸性与拐点的定义，曲线凹凸性与拐点的判别法，凹凸区间与拐点的求法。

曲线渐近线的定义与求法。

§ 4.6 函数作图的基本步骤与方法

§ 4.7 经济应用举例：最大利润、最小成本等。

※§ 4.8 函数凹凸性的定义与判别法

[ 要求与说明 ]

1. 能叙述罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，知道这些定理之间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作要求。

2. 熟练掌握罗必塔法则各种未定式的定值方法。

只证明型未定式的罗必塔法则，型未定式的罗必塔法则的证明不作要求。

注意罗必塔法则适用的条件。

3. 熟练掌握函数单调性的判别方法。

4. 熟练掌握求函数极值与最值的方法。了解函数极值与最值的关系与区别。会求解某些简单的经济应用问题。

5. 熟练掌握曲线凹凸性判别方法；熟练掌握求曲线拐点与渐近线的方法。

6. 掌握函数作图的基本步骤和方法；会作某些简单函数的图形。

第五章 不定积分

[ 内容提要 ]

§ 5.1 不定积分的概念

原函数概念。不定积分的定义与几何意义。不定积分的基本性质。

§ 5.2 基本积分表

§ 5.3 换元积分法：第一换元积分法，第二换元积分法。

§ 5.4 分部积分法

§ 5.5 有理函数的积分

※真分式的分解。

简单分式的不定积分。

※求有理函数不定积分的一般步骤与方法。

[ 要求与说明 ]

1. 了解原函数与不定积分概念，掌握不定积分的基本性质。

2. 熟悉基本积分表（基本积分表见附表二）。

3. 熟练掌握计算不定积分的二种换元积分法和分部积分法。

4. 会计算三种简单的分式的不定积分：

第六章 定积分

[ 内容提要 ]

§ 6.1 定积分的概念与性质

曲边梯形的面积。定积分的定义与几何意义。

定积分的基本性质。积分中值定理。

§ 6.2 微积分基本定理

变上限积分。原函数存在性定理。变上限积分的求导方法

牛顿——莱布尼兹公式。

§ 6.3 定积分的计算

定积分的第一与第二换元积分法。

定积分的分部积分法。

§ 6.4 定积分的应用

平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用。

§ 6.5 广义积分初步

无穷积分的概念，无穷积分收敛与发散的定义，无穷积分的计算。

瑕积分的概念，瑕积分收敛与发散的定义，瑕积分的计算。

广义积分与的敛散性判别。

Γ函数的定义、性质与递推公式。

[ 要求与说明 ]

1. 了解定积分的概念和基本性质，掌握积分中值定理。

2. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。会求变上限积分的导数。

3. 熟练掌握计算定积分的换元积分公式和分部积分公式。

注意不定积分与定积分换元积分公式之间的相似性与区别。

4. 会利用定积分计算平面图形的面积的旋转体的体积。会利用定积分求解一些简单的经济应用题。

5. 了解广义积分收敛与发散的概念。掌握计算收敛广义积分的方法。

知道广义积分与的敛散条件。

知道Γ函数的概念、基本性质和递推公式。

第七章 无穷级数

[ 内容提要 ]

§ 7.1 无穷级数的概念与性质

无穷级数及其一般项与部分和概念；无穷级数收敛与发散的定义；收敛级数和的概念；几何级数与调和级数的敛散性；无穷级数收敛的必要条件；收敛级数的基本性质。

§ 7.2 正项级数

正项级数的概念；正项级数收敛的充分必要条件；正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法； P 级数的敛散性。

※正项级数的柯西根值判别法与积分判别法。

§ 7.3 任意项级数

交错级数的概念；交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。

任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念。绝对收敛与条件收敛的判别法。

※§ 7.4 广义积分的敛散性判别法

无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法。广义积分的绝对收敛性。

B 函数的定义；Γ函数与 B 函数的关系。

※§ 7.5 幂级数

函数顶级数的概念。

幂级数的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数的概念；幂级数敛散性判别法；幂级数收敛半径、收敛区间的求法；幂级数的基本性质。

※§ 7.6 函数的幂级数展开

泰勒公式及其余项；泰勒级数与麦克劳林级数。

幂级数展开定理；将函数展成幂级数的方法（直接展开法、间接展开法）；基本初等函数的幂级数展开。

[ 要求与说明 ]

1. 了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散，以及收敛级数的和等基本概念。

2. 掌握几何级数与 P 级数的敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性。

3. 掌握级数收敛的必要条件，以及收敛级数的基本性质。

4. 掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法。

5. 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

6. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法。

第八章 多元函数微积分学

[ 内容提要 ]

§ 8.1 预备知识

空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与曲面方程。

平面上的区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念。

§ 8.2 多元函数的概念

多元函数的定义。

二元函数的定义域与几何意义。

※齐次函数及其基本性质。

二元函数的极限与连续性。

§ 8.3 偏导数与全微分

偏导数的定义与计算方法。

全微分的定义与计算方法。

§ 8.4 多元复合函数微分法与隐函数微分法

§ 8.5 高阶偏导数的定义与求法

※§ 8.6 多元函数的泰勒公式，多元函数的线性化

§ 8.7 多元函数的极值最值

二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件。

※最小二乘法。

条件极值的概念与拉格朗日乘子法。

多元函数最值的概念与求法。

§ 8.8 二重积分

曲顶柱体的休积。

二重积分的定义与基本性质。二重积分的计算：在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分。

※二重积分的变量替换公式。

※广义二重积分与正态密度函数。

[ 要求与说明 ]

1. 了解空间坐标系的有关概念，会求空间两点之间的距离。

了解平面区域、区域的边界、点的邻域、开区域与闭区域等概念。

2. 了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与表示法。

3. 知道二元函数的极限与连续性的概念。

4 ．理解多元函数的偏导数与全微分概念。熟练掌握求偏导数与全微分的方法。掌握求多元复合函数偏导数的方法。

5. 掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法（例如由 F （ x,y,z ） =0 确定的隐函数 z=f （ x,y ），求其偏导数）。

6 ．了解二元函数极值与条件极值的概念。掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘子法求解简单二元函数条件极值问题的方法。

7. 了解二重积分的概念、几何意义与基本性质。掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法，会计算一些简单的二重积分。

第九章 微分方程

[ 内容提要 ]

§ 9.1 微分方程的基本概念

微分方程的定义，微分方程的阶、解（通解、特解）、定解条件和初值问题等基本概念。

§ 9.2 一阶微分方程

可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性微分方程。

※可化为齐次方程的微分方程与伯努利方程。

§ 9.3 高阶微分方程

n 阶线性微分方程的一般形式。 N 阶线性微分方程解的基本定理。

二阶常系数线性微分方程的特征根解法。

※ n 阶常系数线性微分方程的特征根解法。

※几类特殊的高阶微分方程的解法。

§ 9.4 微分方程在经济学中的简单应用

[ 要求与说明 ]

1. 了解微分方程的阶、通解与特解等概念。

2. 掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法。

3. 掌握二阶常系数线性微分方程的解法。

4. 会求解一些简单的经济应用题。

五、本课程与其它课程的关系

高等数学是研究空间形式和数量关系的基础学科。 通过本课程的学习，使学生获得微积分的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

六、教材及参考书

本教学大纲是根据中国人民大学《微积分》 --- 经济应用数学（陈国辉、迟旭升主编，人民大学出版社）编写的，该课程的教学参考资料为《高等数学》第五版（同济大学出版社）。

七、主要教学方法与媒体要求

由于本课程是一门实践性和技能性较强的课程，运用多种教学媒体、采用多种教学形式组织教学。除文字教材应该力求通俗易懂、便于自学以外，网络课程应充分发挥其特长，多用一些动画、图表、字幕等手段对重点、难点问题进行讲解和说明。应特别注意对作业的批改和讲评，有条件还可以安排进行数学实验。

制订：信息管理与信息系统教研室

执笔人：张建海

审定人：刘保才